书接上回（讲真，有限制真的好麻烦）

【资料图】

I. 前置a——为阶梯函数的R-S积分

为阶梯函数的时候R-S积分是不一定存在的，比如当和在同一点处间断的时候，它就可能不存在。举个例子：

那么

那么什么时候会可积呢？下面的定理给出了解答：

定理3.I.1

若，与至少一个在处连续，那么，且，这里

这个定理是很好证明的，只需要分两种情况

（1）

这时可以知道，根据Riemann-Stieltjes积分的定义，可以知道，且

（2）

记

根据连续的定义，存在，使得只要满足，就有

如果我们让

对于分法，

对于分法，

其中

那么，

综上，得证

这个定理有两个弱化版的形式，证明也是类似的，即：

定理3.I.2.1

若，与至少一个在处连续，那么

定理3.I.2.2

若，与至少一个在处连续，那么

结合上面的内容，归纳性的有如下定理（可使用归纳法和三角不等式证明）：

定理3.I.3

若，与不在同一点处间断，那么，且，这里，为的分法，同时对有界区间定义函数：

II. 前置b——分部积分

也许大家都比较熟悉这个东西，在Riemann积分里面的版本只要结合微积分第二基本定理就可以知道和导数的乘积公式是一样的。这里用Riemann-Stieltjes积分的语言再叙述一遍：

定理3.II.1

若在上，那么在这个区间上，并且有如下式子成立：

这里正好可以介绍一个东西，这将对我们的证明有所帮助——Abel恒等式

↑↑↑就是上面这个↑↑↑

记

根据R-S可积的定义，当，有

这里为的分法

假设为的某分法，使得

任取，那么分法满足条件

那么

证毕

由分部积分原理，以及3.I的内容可以知道：若阶梯函数与不在同一点处间断，那么必然有，并且，其中（这也就是定理3.1的前半部分）

到此为止我们需要的前置内容基本完全，只剩下最后一个看似无关其实在证明中非常有用的结论——

III. 前置c——闭区间上的单调增函数仅有至多可数个间断点

定理3.III.1

若为单调增函数，那么它的间断点至多可数

假设为所有间断点的集合，（此处定义为其右、左极限，但特别的，我们定义处的特例，；显然这个定义是可行的），那么，

而根据阿基米德性质，显然有，所以至多可数

那么根据这个定理，会得到如下定理，会对原命题有重要帮助：

定理3.III.2

若至多可数，那么存在的使得任意小的分法，满足除了两端点外的所有分点都不属于

不妨考虑

注意到至多可数，因此它不会包含任何除了空集和单点集外的有界区间，从而可以知道存在

对接下去的也可以类似的按照递推的方式取出，但这样的选取出来的个数是有限的，因为总有一刻使得，这时候到操作为止，那么分法就是满足条件的一组分法，得证

至此，必要前置部分已经结束，我们将回到原命题

（至此，中篇结束）

关键词： 阶梯函数 满足条件